Bewertungskompetenz im Physikunterricht und der Master…

Wie dem Titel unschwer zu entnehmen ist schreibe ich zur Zeit meine Masterarbeit an der Uni Hamburg im Bereich Physikdidaktik. Ganz konkret geht es um Bewertungskompetenz (darüber demnächst mehr!) und noch konkreter darum, ein Instrument zu entwickeln, mit dem sich Bewertungskompetenz messen lässt.

Hierzu werde ich zwei siebte Klasse in einem Pre-Post-Test-Setting als Versuchskaninchen nutzen und bin gerade mitten in der Entwicklung von passenden Testaufgaben. Bevor ich mit diesen dann endgültig ins Feld gehe, bin ich aber auf eure wohlwollende Mithilfe angewiesen: Ich hätte gerne Rückmeldungen zu den von mir entwickelten Aufgaben (bisher 5 an der Zahl). Ihr würdet mir einerseits schon wahnsinnig helfen, wenn ihr die Aufgaben einfach mal (stichwortartig?) beantwortet und andererseits kurz euren Senf zur weiteren Verbesserung dazugebt.

Damit ich eure Antworten (natürlich anonym!) einfacher den entsprechenden Aufgaben zuordnen kann, habe ich für jede Aufgabe eine Umfrage bei GoogleDocs fertig gemacht. Dort findet ihr auch den Link zur jeweiligen Aufgabe (im PDF-Format). Ich danke euch allen schon jetzt für eure Hilfe!

Schritt für Schritt zur Vision der freien Bildungsmaterialien. Was kann ich tun? #OER

Seit einigen Wochen kocht in vielen, vielen Blogs die Diskussion rund um freie Bildungsmaterialien hoch. In der anglophonen Welt wird schon – so sagt zumindest die Wikipedia – seit geraumer Zeit über freie Bildungsinhalte diskutiert. Spätestens seit den Diskussionen um den sogenannten „Schultrojaner“ hat die Diskussion nun auch Deutschland erreicht.

Ich möchte gar nicht so sehr den Stand der Debatte nochmals zusammenfassen. Das haben Torsten Larbig (sogar mehrmals), Thorsten Gross und viele andere bereits ausführlich getan. Eine gewisse Infrastruktur ist im Entstehen begriffen (z.B. die Webseite freiebildungsmedien.de) und auch ansonsten ist vieles im Fluss. Was soll also dann dieser Blogpost?

Ich möchte ein wenig darüber nachdenken, was ich, als einzelner Lehrer (bzw. in meinem Fall angehender Lehrer) tun kann, um vom Gedanken der freien Bildungsmedien zu profitieren und diesen zu unterstützen. Diese Überlegungen möchte ich ganz konkret auf die naturwissenschaftlichen Fächer beziehen.

Warum sollte ich, als einzelner Lehrer überhaupt etwas tun?

Diese Frage beantwortet Thorsten Gross in so schöner Weise, dass ich es gerne hier wiedergeben möchte:

 Nicht selten kommt auch der Hinweis: “Du, ich hab’ da ein Arbeitsblatt, das kann ich dir gerne geben.” und wer ist nicht dankbar dafür? Unter Kollegen/innen ist es auch keine Frage, dass man das Arbeitsblatt abändern darf, um es der eigenen Situation anzupassen

Innerhalb einer Schule ist es seit langem Gang und Gäbe, Materialien zu tauschen und weiterzugeben. Selbstverständlich sind diese Materialien veränderbar und in diesem Sinne innerhalb eines bestimmten, relativ klar abgegrenzten Personenkreises „frei“. Materialien zur Verfügung zu stellen ist also für Lehrer kein Neuland.

Das Internet verändert nun den möglichen Adressatenkreis. Plötzlich sind nicht mehr nur die wenigen direkten Fachkollegen als potentielle Materialquellen und -abnehmer denkbar, sondern auch Kollegen aus ganz Deutschland, ja dem gesamten deutschsprachigen Raum. Man stelle sich folgendes vor: Jeder Physiklehrer aus dem deutschen Sprachraum stellt nur ein wirklich gut durchdachtes Arbeitsblatt für alle anderen zur Verfügung. Welcher Schatz dort schlummert, welche Arbeitserleichterung und Inspirationsquelle!

Illusorisch? Ja, zugegeben. Realität kann so ein Traum nur werden, wenn

  • alle Mitmachen. Wer vom eingestellten Material profitieren möchte, sollte sich auch dazu anspornen, selbst Material zur Verfügung zu stellen. Quid pro Quo.
  • Copyright beachtet wird.

Wirklich neu ist wohl nur der erste Punkt: Auch früher, in der Prä-Internetära, bekam ein Kollege, der nie etwas zum „gemeinsamen Materialpool“ der Fachschaft beisteuerte, selten etwas zurück. Zu klären ist also die Frage des Copyrights.

Freie Lizenzen als Schlüssel

Wie Cashy so schön schreibt: Im Internet wird man furchtbar schnell juristisch angreifbar. Ein Bild oder auch ein Video sind schnell auf der eigenen Webseite eingebunden oder aus einem Buch kopiert. Ich unterstelle einfach mal: Kopieren (aus Büchern, …) war und ist in vielen Schulen gängige Praxis. Der Passus mit dem sogenannten Schultrojaner wurde wohl nicht ohne Grund geschrieben…

Bei der Bereitstellung im Internet wird hieraus ein Problem. Abhilfe schaffen freie Lizenzen wie die Creative Commons-Lizenz. Diese gibt es in verschiedenen Spielarten, was sie unterscheidet erklärt Cashy in zwei Teilen wirklich gut. Wird das gesamte Material unter einer CC-Lizenz ins Netz gestellt, so wird im Grunde das „Geschäftsmodell“ von früher, die Weitergabe inkl. der Veränderungsrechte, ins 21. Jahrhundert transportiert.

Bei der Erstellung von Arbeitsmaterial sollte der Lehrer, der die oben skizzierte Vision teilt, also möglichst sofort freie Bilder und Texte benutzen. Stellt sich die Frage: Woher nehmen, wenn nicht selbst machen? Da hilft z.B. Damian Duchamps mit seiner Seite CC-your-Edu.de weiter. Dort findet ihr Hinweise zu Quellen von CC-Material. So erstelltes Material kann dann online zugänglich gemacht werden, beispielsweise auf einer eigenen Webseite. Solange es keine „richtige“, zentrale Sammelstelle gibt, ist es natürlich schwierig, diese bekannt zu machen und zu finden. Aber was das angeht bin ich zuversichtlich, was das angeht ist die eingangs verlinkte Fraktion um Torsten Larbig doch recht aktiv.

Was heißen freie Bildungsmaterialien für Physik und Chemie?

Gehen wir noch einen Schritt weiter und fragen: Welche freien Inhalte brauchen wir für den Physik- und Chemieunterricht? Das habe ich – gemeinsam mit u.a. Birgit Lachner, die auch erstes Chemiematerial als OER kennzeichnet, in einem Etherpad zu diskutieren begonnen. Ich möchte meine Gedanken dazu nochmal zusammenfassen und konkretisieren:

  • Arbeitsblätter sind ein erster, wichtiger Schritt. Hierzu zähle ich sowohl Übungsaufgaben (ggf. auch mit Lösungen), Aufgaben mit gestuften Hilfen, Lernzirkel, Gruppenpuzzle, Experimentieranleitungen verschiedener Schwierigkeitsstufe usw.
  • Darüber hinaus wären verschiedene Spiele schön. Diese lassen sich beispielsweise zur Wiederholung einsetzen und können Unterricht sehr stark auflockern. Sie selbst zu erstellen ist allerdings oft sehr zeitaufwendig.
  • Erklärende Texte, wie sie in einem Lehrbuch auftauchen. Ohne diese erklärenden, zusammenfassenden Texte kann ich mir auch in Zukunft keinen naturwissenschaftlichen Unterricht vorstellen. Auch diese müssen in Zukunft, altersangemessen mit angemessener didaktischer Reduktion unter einer freien Lizenz zur Verfügung gestellt werden.
  • Animationen, Moodlekurse, … können das Angebot abrunden und Lehrbücher im klassischen Sinne überflüssig werden lassen.

Besonders die Erstellung von Lehrbuchtexten ist in meinen Augen äußerst komplex, zeitintensiv und braucht große Erfahrung. Freie Lehrbücher werden also wohl nur nach und nach entstehen und sind eine eher langfristige Perspektive.

Alles andere wird aber sowieso tagtäglich durch Lehrerinnen und Lehrer in Deutschland erstellt. Wenn wir dabei auf CC-Material zurückgreifen und sie online verfügbar machen, ist ein Materialpool hier vergleichsweise schnell zu verwirklichen. Also, packen wir es an!

Ich möchte diesen Blogpost mit einer kleinen Selbstverpflichtung abschließen: Ich werden nach und nach von mir erstelltes Material hier im Blog zur Verfügung stellen. Dazu werde ich demnächst eine kurze Übersichtsseite erstellen. Ich würde mich freuen, wenn viele andere mir auf diesem Weg folgen würden!

Phänomenta, Phänomene, Wagenschein

Am Freitag war ich mit der Uni in der Phänomenta in Flensburg. Es war großartig: wir haben unglaublich viele Experimente ausprobiert und mit ihnen im wahrsten Sinne des Wortes herumgespielt. Dabei haben wir auch noch Vieles über die Physik hinter den Dingen gelernt. Viel mehr möchte ich zu den Inhalten der Phänomenta aber auch gar nicht sagen. Selbst besuchen lohnt sich!

Was mich seit unserem Besuch dort beschäftigt ist ein kurzes Statement unseres Betreuers vor Ort:

Wir leben in einer Informationsgesellschaft, nicht in einer Wissensgesellschaft.

Diese Aussage ist auch in Bezug auf das Thema neue Medien und Veränderung des Lernens durch sie besonders wichtig und liefert mir neue Argumente, um Gunter Dueck zu widersprechen. So machen neue Medien in meinen Augen Experten nicht überflüssig, genauso wenig wie formale Bildung. Um das von ihm gebrachte Beispiel aufzugreifen: Mit Sicherheit hat ein Patient, der einige Zeit gegooglet hat, mehr Informationen über ein spezifisches Thema als beispielsweise der behandelnde Arzt. Jedoch – und das ist der große Unterschied: Der Arzt hat im Normalfall ein wesentlich größeres Wissen. Er kann Krankheiten im Zusammenhang sehen, hat ähnliche Krankheiten bereits behandelt und ist geübt in der Risikoabschätzung. Kurz: Der Arzt hat Wissen. Und genau dieses Wissen unterscheidet den Experten vom informierten Laien.

Um es auf den Punkt zu bringen: Durch die neuen Medien sind Informationen zwar ständig verfügbar. Jedoch sind Informationen, die nicht zu Wissen geworden sind, nur wenig wert. Wissen heißt in diesem Zusammenhang: Sinnliche Erfahrungen mit dem Gegenstand, die Fähigkeit, selbst mit der Information Probleme lösen. Oder, in neuerem pädagogischen Vokabular ausgedrückt, Kompetenz.

Ich will das an einem weiteren Beispiel aus der Physik festmachen: ich kann mir eine Webseite, zum Beispiel aus der wikipedia, durchlesen und erhalte daraus viele Informationen. Nehmen wir – ohne Beschränkung der Allgemeinheit- an, dass es sich um physikalische Gleichungen handelt. Ich kann diese zwar eventuell wiedergeben. Ich habe deswegen aber nichts im eigentlichen Sinn verstanden. Verstehen stellt sich erst ein, wenn Informationen verarbeitet werden. Es muss also (intelligent) geübt, an Experimenten herumgespielt, gerechnet und mit Vorwissen verknüpft werden. Erst dann stellt sich langsam Wissen im Sinne von wirklichem Verstehen ein. Da Verstehen nur, wie auch Herr Larbig schreibt, analog stattfinden kann, muss es offline und mit allen Sinnen geschehen. Welcher Ort eignet sich dazu besser als die Schule? Oder eben die Phänomenta. Das Internet kann bei der Beschaffung von Informationen gute Dienste leisten. Mehr aber auch nicht.

Und was hat Wagenschein damit zu tun? Wir haben die Methode des genetischen Gesprächs kennengelernt. Hierbei achtet der Moderator auf die Einhaltung der Gesprächsregeln:

  1. Nur einer spricht zur Zeit. Es gibt keine „Nachbarschafts-Gespräch“.
  2. Wer etwas sagen möchte, sagt es. Egal, wie sinnvoll es im ersten Moment erscheinen mag.
  3. Es wird streng am Phänomen orientiert diskutiert.

Im Rahmen dieses Gesprächs haben wir tatsächlich ein Exponat der Phänomenta erklärt. Und – das wichtigste: Alle haben es im besten Sinne verstanden. Zwar nicht unbedingt fachsprachlich korrekt. Aber wichtiger ist doch das „Wissen“ in oben erläutertem Sinne, oder? Mehr über das „genetische Gespräch“ findet sich hier.

Außerdem: Das Verstehen – ausgehend von Phänomenen – ist Wagenschein pur. Damit habe ich mich an anderer Stelle schon einmal auseinandergesetzt.

Lecker Lecker: Selbst gemachtes Eis!

Nächste Woche will ich mit Schülern als Abschluss einer längeren Einheit selbst Eis herstellen. Die Einheit ist übrigens sehr empfehlenswert und hier frei zugänglich zu finden. Fertige Arbeitsblätter habe ich daraus gebastelt und stelle sie bei Gelegenheit gern zur Verfügung!

Aber zur Eisherstellung: In Stationenarbeit haben die Schüler gelernt, dass durch eine Eis-Salz-Mischung sehr kalte Temperaturen erreicht werden können. Kalt genug jedenfalls, dass auch Fette erstarren! Bevor ich das mit den Schülern ausprobiere, muss ich mir natürlich sicher sein, dass alles funktioniert. Gesagt, getan: Zuerst habe ich eine gute Menge (ich habe 500 g benutzt) Eis zerkleinert und mit 150 g Kochsalz gut vermischt. Dann habe ich einen kleinen Kochtopf in ein größeres Plastikgefäß gestellt und in den Zwischenraum die Eis-Salz-Mischung gefüllt.

In den Topf kam dann das, was das Eis lecker macht: Zwei Becher Sahne, drei Päckchen Vanillezucker und ein guter Schuß Bailey’s. Letzteres ist wohl eher nicht schulgeeignet… Dann habe ich mit einem Plastiklöffel gerührt. Und gerührt. Und gerührt. Und ja, nach 15 Minuten war das Eis wirklich fest. Und schmeckte tatsächlich lecker. Wird das der Hit des NW-Unterrichts? Ich hoffe doch!

Übrigens: Jetzt ist mir übel. Aber lecker war’s. Hier zwei Fotos der Aktion – das Eis wurde auch noch deutlich fester als auf dem Bild:

Eis - noch wird kräftig gerührt
Eis - noch wird kräftig gerührt
Eis - langsam wird's fest
Eis - langsam wird's fest

 

Vortrag von Prof. Oliver Reiser: Chemie im Alltag

Heute abend hatte ich die Gelegenheit, einen sehr interessanten und kurzweiligen Vortrag von Prof. Reiser zum Thema „Chemie im Alltag“ an der Universität Hamburg zu hören. Und es hat sich durchaus gelohnt. Sehr zu empfehlen ist auf den ersten Blick seine Webseite, die mich doch sehr an das Angebot von Prof. Blume erinnert. Anschauen lohnt sich, ich habe beide Seiten in die Links aufgenommen.

Besonders nachdenklich haben mich mal wieder die Ausführungen zur Wahrnehmung der Chemie im Alltag gestimmt, die er hier umreißt. Da in den Augen vieler Menschen den Naturwissenschaften kein Bildungswert zukommt, habe ich heute länger darüber nachgedacht, worin dieser Bildungswert genau liegen könnte.

Was ich hier für die Physik gesagt habe, gilt in sehr ähnlicher Weise auch für die Chemie. Insgesamt können die Naturwissenschaften uns eine weitere Möglichkeit der Betrachtung der Welt eröffnen. Genauso wie Literatur, Geschichte oder andere Wissenschaften.

Aber weiter gedacht: Haben die Naturwissenschaften noch weiteren Bildungswert? Rein utilitaristisch betrachtet haben die Naturwissenschaften eine unglaubliche handlungspraktische Bedeutung, die mir gerade in jüngster Zeit wieder deutlich geworden ist. Als Stichworte seien Fukushima, Dioxine im Futter, Gentechnik, Präimplantationsdiagnostik und vielfältige Alltagsprodukte wie Benzin, Kunststoffe, … genannt. Differenzierte Diskussionen hierüber sind ohne ein breites naturwissenschaftliches Wissen schlicht nicht möglich. Mehr noch: ohne dieses Hintergrundwissen ist eine Teilnahme als mündiger Bürger an unserer Gesellschaft für mich kaum vorstellbar.

Und doch ist in der breiten Gesellschaft von „scientific literacy“ oftmals nichts zu spüren. Wir brauchen also besseren Unterricht!

 

Was ist die pädagogische Dimension des Physikunterrichts?

Unglaublich, wie wenig Zeit mir die Uni manchmal zum Schreiben lässt. Als erstes leidet dieser Blog darunter. Deswegen möchte ich die Gunst der Stunde nutzen und einen Text, den ich für ein Fachdidaktikseminar geschrieben habe „Zweitverwerten“.

Worum es geht? Ganz einfach: Um die pädagogische Dimension des Physikunterrichts. Ausgangspunkt ist ein Text von Martin Wagenschein („Rettet die Phänomene!“). In diesem Artikel in der Zeitschrift „Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht“ (MNU, 1977) plädiert Wagenschein sehr schlüssig für ein Primat der Phänomene im Physikunterricht. Er beobachtete in meinen Augen sehr zutreffend, dass viele Schüler und sogar Studenten der Physik von den eigentlichen Phänomenen, die eine Modellbildung erst erforderlich machen, entfremdet sind. Anders gesagt: Viele können zwar die Brown’sche Molekularbewegung erklären, haben sie aber nie gesehen.

Von diesem Aufsatz ausgehend habe ich ein kleines Essay verfasst, dass ich nun hier veröffentlichen möchte. Ich bin auf Kommentare gespannt!

Das Thema dieses kurzen Essays soll „Die pädagogische Dimension des Physikunterrichts nach Martin Wagenschein“ sein. Zu allererst möchte ich daher die naheliegende Frage klären, was genau eigentlich unter der „pädagogische Dimension“ von Physikunterricht zu verstanden werden kann.

Ich möchte nun den Begriff näher umreißen und das Feld von hinten aufrollen. Daher beginne ich mit dem Begriff des Physikunterrichts.

Physikunterricht ist meiner Ansicht nach zunächst etwas grundsätzlich anderes als die Physikwissenschaft. Physikunterricht findet regelhaft in Schulen durch speziell ausgebildete Lehrer statt und möchte einen mehr oder weniger klar umrissenen Kanon an Kompetenzen bei den Schülerinnen und Schülern anlegen. Physikunterricht hat natürlich aufgrund seines Bezugs auf die Wissenschaft Physik (was etwas anders ist als zu behaupten, Physikunterricht sei mit der Wissenschaft Physik identisch) eine rein physikalische Dimension. Diese schlägt sich in den vergleichsweise klar umrissenen fachlichen Inhalten des Unterrichts deutlich nieder. Wenn also Physikunterricht eine rein physikalische oder auch wissenschaftliche Dimension aufweist: Was ist mit der pädagogischen Dimension gemeint?

Pädagogik hat ganz allgemein gesprochen zum Ziel, Menschen zu verändern. Dieses kann sowohl auf ihr Wissen als auch auf ihre Verhaltensweisen bezogen werden. Die Kernfrage könnte anders formuliert also sein: Auf welche Weise kann Physikunterricht Menschen verändern – und warum kann dies eine wichtige Legitimation für den Physikunterricht sein?

Physikunterricht kann natürlich Unmengen an Gleichungen und Faktenwissen vermitteln und so das Wissen des Menschen verändern. Dieser Umstand allein legitimiert aber wohl kaum, dass Physikunterricht an unseren Schulen stattfindet. Es geht aber auch anders – und hier kommt Wagenschein ins Spiel wenn er fordert „Rettet die Phänomene!“. Physikunterricht, der Phänomene unverfälscht zeigt, zeigt Schülerinnen und Schülern auch die Schönheit der Natur – eben die Naturphänomene. Werden ausgehend von diesen tragfähige Modellvorstellungen langsam und mit viel Bedacht entwickelt, erschließt sich den Schülern nach und nach eine neue, erstaunliche Möglichkeit, die Welt zu betrachten: Die Physik als Erkenntnismethode. Wie Wagenschein es ausdrückt: Physik beschränkt sich in kluger Weise selbst. Und wie ich hinzufügen möchte: Bekommt gerade durch diese Selbstbeschränkung ein unglaubliches Erklärungspotential für alltägliche Phänomene.

Allein dieser – für die meisten Schülerinnen und Schüler neue – Zugang zur Wirklichkeit rechtfertigt in meinen Augen bereits, dass Physikunterricht absolut notwendig an allgemeinbildenden Schulen ist. Physikunterricht kann – wird er mit viel Ruhe, ausgehend von Naturphänomenen, nur behutsam abstrahierend durchgeführt – den Schülern zumindest in Ansätzen eine neue Betrachtung der Welt mit auf den Weg geben und so ihre Einstellung zur Wirklichkeit grundlegend verändern. Wichtig ist aber, um weiter bei Wagenschein zu bleiben, dass Physik nicht als „die Natur an sich“ verstanden wird. Physik vereinfacht, abstrahiert, modelliert und beschreibt. Jedoch kann diese Beschreibung, so genau sie auch ist, niemals das Phänomen selbst sein, sondern eben nur seine Beschreibung. Nicht mehr, aber auch nicht weniger. Dies sollte auch im Physikunterricht deutlich werden.

Steckt vielleicht noch mehr „Pädagogisches“ in der Physik? Ich meine ja. So bietet der Physikunterricht die vielleicht einmalige Chance, Beobachten und Beschreiben zu lernen. Werden Phänomene der Wirklichkeit beobachtet, so stellt sich mehr oder minder zwanglos ein immer genauer werdender Blick auf die Welt bei den Schülerinnen und Schülern ein. Fragen und Hypothesen werden formuliert, diskutiert, verworfen, neu entwickelt, wieder verworfen und so fort. Physikunterricht kann also auch die sprachlichen und kommunikativen Fähigkeiten fördern – wenn den Schülern, wie Wagenschein dies fordert, genügend Zeit gelassen wird. Zeit, grundlegende Phänomene wie die Brown’sche Molekularbewegung, Schallausbreitung oder Beugungsphänomene mit alltäglichen Gegenständen mit allen Sinnen zu erfahren, zu erforschen und zu diskutieren.

[Alle Aussagen, die ich Wagenschein zuschreiben, entstammen dem Artikel Wagenschein, M. (1977): Rettet die Phänomene! (Der Vorrang des Unmittelbaren). In: MNU. Jahrgang 30(3).]

Was genau ist eigentlich ein Modell?

Durch eine Diskussion beim ScienceBlog von Martin bin ich ein wenig tiefer ins Nachdenken über Modelle in den Naturwissenschaften und im Allgemeinen gekommen. Zum einen stellte sich mir die Frage, wie ein „Modell“ überhaupt definiert werden kann und wie es von verwandten Begriffen wie Kategorie oder Theorie abgegrenzt werden kann. Zum anderen stellte sich mir die Frage, warum der Modellbegriff überhaupt Probleme bereitet.

Was ist ein Modell?

Hier zu sagt Wikipedia (in Anlehnung an Stachowiak):

Ein Modell ist ein Abbild der Wirklichkeit. [Es ist] durch drei Merkmale gekennzeichnet:

  1. Abbildung. Ein Modell ist immer ein Abbild von etwas, eine Repräsentation natürlicher oder künstlicher Originale, die selbst wieder Modelle sein können.
  2. Verkürzung. Ein Modell erfasst nicht alle Attribute des Originals, sondern nur diejenigen, die dem Modellschaffer bzw. Modellnutzer relevant erscheinen.
  3. Pragmatismus. Pragmatismus bedeutet soviel wie Orientierung am Nützlichen. Ein Modell ist einem Original nicht von sich aus zugeordnet. Die Zuordnung wird durch die Fragen Für wen?, Warum? und Wozu? relativiert. Ein Modell wird vom Modellschaffer bzw. Modellnutzer innerhalb einer bestimmten Zeitspanne und zu einem bestimmten Zweck für ein Original eingesetzt. Das Modell wird somit interpretiert.

Modelle sind also immer Abbilder der Realität. Handelt es sich um mathematische Modelle, so besteht – wenigstens in der Regel – ein funktionaler Zusammenhang zwischen Modell und Realität. Auf jeden Fall handelt es sich bei Modell und realem Objekt, auf das das Modell bezogen ist, um zwei verschiedene Gegenstände im weiteren Sinne. Anders formuliert: Ein Modell nimmt Aspekte der Realität auf und macht selbst eine Aussage über die Realität. So macht ein Miniatur-Automobil eine Aussage über allgemeine Eigenschaften eines Autos (Form, Reifen, …) und ein physikalisches Modell wie der Lichtstrahl eine Aussage über Eigenschaften und (zukünftige) Entwicklung eines Systems.

Beziehung zwischen Modell und Realität

Weiterhin verkürzen Modelle die Realität: Ein Modell wird niemals alle Eigenschaften des modellierten Objektes beinhalten. Betrachtet man beispielsweise das Modell des Lichtstrahls (als ein gedankliches, nicht-gegenständliches Modell) so stellt dieser die Ausbreitung von Licht in vielen Situationen gut dar. Allerdings enthält das Lichtstrahlmodell nicht die Wellen- und schon gar nicht die Teilcheneigenschaften von Licht. Um diese zu beschreiben, sind neue Modelle notwendig.

Verkürzungsaspekt eines Modells

Gerade auch bei nicht-physikalischen Modellen kann durch das „Weglassen“ oder das verkürzte Darstellen bestimmter Eigenschaften eine Hierarchisierung der Eigenschaften vorgenommen werden. Betrachtet man beispielsweise Kompetenzmodelle (zum Beispiel in den Bildungsplänen für das Fach Physik in Hamburg), so werden bestimmte Kompetenzen durch die explizite Nennung (z.B. Fachwissen) besonders betont. Andere Kompetenzen, die ebenfalls als wichtig erachtet werden könnten (z.B. „Lernkompetenz“ im Sinne einer Selbstorganisationsfähigkeit des eigenen Lernprozesses) werden nicht genannt. Somit ist im Kompetenzmodell eine klare Hierarchisierung dieser beiden Kompetenzen allein durch die Nennung oder Nicht-Nennung vorgenommen worden.

Schließlich ist ein Modell zweckgerichtet. Dieser Zweck kann beispielsweise – gerade bei gegenständlichen Modellen – die Veranschaulichung komplexer Sachverhalte sein. Oder die Berechnung bestimmter Systemeigenschaften auf Basis dieses Modells, zum Beispiel beim Modell des idealen Gases. Modelle, die keinen Zweck erfüllen – oder anders gesagt: nichts erklären – sind sinnlos und nach obiger Definition keine Modelle.

Schließlich kann ein Modell ganz Allgemein als ein „Vorbild“ aufgefasst werden. Auch hierbei nimmt das Modell einige Eigenschaften eines als gut und richtig erachteten Objekts (zum Beispiel eines Menschen) auf und stellt diese als ein anzustrebendes Ideal dar. Nicht als erstrebenswert erachtete Eigenschaften werden weggelassen, also in obigem Sinne „verkürzt“.

Abgrenzung gegenüber verwandten Begriffen

Eine Theorie verstehe ich als Spezialfall eines Modells. So ist auch eine Theorie ein verkürztes Abbild der Wirklichkeit – und nicht die Wirklichkeit selbst. Jedoch enthalten Theorien neben deskriptiven Aussagen auch erklärende Aussagen und beinhalten gewisse Grundannahmen. Somit sind an eine Theorie höhere (formale) Anforderungen zu stellen als an ein Modell, jedoch kann in meinen Augen eine Theorie als eine Unterklasse der Modelle verstanden werden.

Eng verwandt mit dem Modellbegriff ist auch der Begriff des Konzeptes. Wikipedia definiert das Konzept so:

Ein Konzept kann eine oder mehrere Eigenschaften einer Menge von Objekten, Eigenschaften, Beziehungen, Sachverhalten oder Fähigkeiten beschreiben. Somit kann ein Konzept sowohl eine gedankliche Zusammenfassung (Vorstellung) von Gegenständen und Sachverhalten beschreiben, die sich durch gemeinsame Merkmale auszeichnen als auch eine Zusammenfassung gleicher oder vergleichbarer Beziehungen von Gegenständen oder Sachverhalten untereinander.

Auch ein Konzept kann man – in meinen Augen – also als Spezialfall eines Modells verstehen: Es werden bestimmte Eigenschaften eines  Gegenstandes (also eines realen Objektes oder eines anderen Modells) generalisiert. So entsteht beispielsweise die Kategorie „Verkehrsmittel“ als Verallgemeinerung des Objektes „Fahrrad“. Dabei enthält das „Verkehrsmittel“ niemals alle Eigenschaften des Fahrrads, wohl aber besteht zwischen Fahrrad und Verkehrsmittel eine nicht zu leugnende Abbild-Bild-Beziehung. In diesem Sinne kann das Modell des Verkehrsmittels viele Eigenschaften des Objektes Fahrrad erklären – natürlich aber nicht alle.

Chancen von Modellen

Modelle können…

  • komplizierte Dinge veranschaulichen. So habe ich persönlich das Konzept von „Azimut und Höhe“ in der Astronomie erst mit Hilfe eines gegenständlichen Modells verstanden, als ich ein verkleinertes Modell der Erdkugel mit aufgesetztem Messgerät selbst gesehen habe.
  • auf Basis der Modellannahmen Aussagen über die (vermutliche) Entwicklung der Realität treffen und haben somit eine Vorraussagekraft für zukünftige Ereignisse. Dieses macht sie für die moderne (Natur-)Wissenschaft geradezu unverzichtbar.
  • komplizierte Dinge vereinfachen. In der Physik ist beispielsweise das Modell des Massenpunktes in vielen Situationen sehr einfach einsetzbar und bietet ein großes Erklärungspotential. Es versagt allerdings bei komplizierteren Bewegungen wie Rotationen.

Gefahren von Modellen

Modelle können aber auch…

  • dazu verführen, z.B. makroskopische Eigenschaften wie Farbe, Geschmack, … auf mikroskopische Teilchen wie Atome oder Moleküle zu übertragen. Dies führt zu falschen Schlüssen über die mikroskopische Welt. Allgemein gesprochen besteht also die Gefahr, Realität und Modell miteinander zu vermengen und so falsche Schlüsse über die Realität selbst zu ziehen.
  • unsachgemäß vereinfachen und so zu falschen Schlussfolgerungen führen.
  • dazu führen, dass Modell und Realität miteinander verwechselt werden. Atome sind beispielsweise keinesfalls „kleine runde Bälle“, Lichtstrahlen wird nie jemand sichtbar machen können. Genausowenig werden wir jemals magnetische Felder „sehen“ können. Alle diese Dinge sind Modelle und beschreiben einen Ausschnitt der Realität. Nicht mehr, aber auch nicht weniger.

Wie geht man damit nun im Unterricht um?

Mikelskis-Seifert und Leisner [1] schlagen einen expliziten Unterricht über Modelle in Form eines Projektes vor (Literaturhinweis unten). So sollte im Unterricht bewußt zwischen einer Erfahrungs- und einer Modellwelt unterschieden werden. Modelle sollen – im Sinne der oben zitierten Definition – gezielt zum Problemlösen ausgewählt und benutzt werden und von Phänomenen abgegrenzt werden. Der jeweilige Einsatz (und Verkürzungsaspekt) von Modellen muss explizit thematisiert werden. Wer es genauer wissen möchte sei an dieser Stelle auf die Literatur verwiesen.

Weitergedacht sollte diese Reflexion den Gebrauch des Modellbegriffs in den Medien einbeziehen. So könnten Beispielsweise Witze als eine Art „Aufhänger“ für eine Diskussion des Modellbegriffs dienen. Eine ähnliche Funktion können natürlich auch gegenständliche Modelle wie das Hubble-Weltraumteleskop erfüllen: Durch Vergleich von Modelleigenschaften und Objekteigenschaften können Gemeinsamkeiten (Form) und Unterschiede (Funktion) herausgearbeitet werden, womit der Verkürzungsaspekt eines Modells thematisiert werden kann. Sicherlich gibt es tausende weitere Texte, Gegenstände und Animationen, die zu weiterer (expliziter!) Reflexion anregen können. Weitere Ideen gerne in den Kommentaren :).

Die wichtigste Erkenntnis von allen ist aber vielleicht die folgende: Das eine richtige Modell gibt es nicht. Kein Modell beschreibt die Realität vollständig – und selbst wenn es dieses täte, wären wir nicht in der Lage, dieses auch zu erkennen. Und trotzdem können Modelle so unglaublich nützlich bei der Beschreibung der Welt sein. Mehr als dies sind sie indes nicht: Eine Beschreibung, nicht die Realität selbst.

[1] Mikelskis-Seifert, Leisner – Systematisches und bewußtes Lernen über Modelle in Hößle, Höttecke, Kircher: Lehren und Lernen über die Natur der Naturwissenschaften (2004)

Simulation von Differentialgleichungen mit Tabellenkalkulationen (2)

In diesem Beitrag soll es nun um das sogenannte Fadenpendel (oder auch mathematische Pendel) gehen – und wie man es mit Hilfe von OpenOffice „lösen“ kann! Dazu zunächst ein wenig Theorie zum Fadenpendel, bevor dann eine verblüffend einfache Lösung mittels Tabellenkalkulation folgt. Notwendig zum Verständnis ist auf jeden Fall mein vorheriger Artikel, in dem ich das grundlegende Prinzip der Näherungslösungen beschreibe. Hier möchte ich nur ganz kurz hinzufügen, wie mit einer zweiten Ableitung umgegangen wird.

Die Zweite Ableitung

Die 2. Ableitung einer Funktion ist – wer hätte das gedacht – die Ableitung der 1. Ableitung einer Funktion. Richtig schreiben müsste man für die zweite Zeitableitung also:

[latex size=“1″]ddot{f} = frac{d dot{f}}{dt}[/latex]

Wendet man nun den Gedanken aus dem vorherigen Artikel auch hierauf an, so kann ich – für hinreichend kleine [latex size=“1″]Delta t[/latex] die Ableitung näherungsweise berechnen über

[latex size=“1″]ddot{f} = frac{Delta dot{f}}{Delta t}[/latex]

Die Änderung der 1. Ableitung [latex size=“1″]Delta dot{f}[/latex] lässt sich also direkt durch Umstellen der Gleichung berechnen. Neu bei der Behandlung von Differentialgleichungen ist hier nur, dass auch für die 1. Ableitung ein Anfangswert vorgegeben werden muss. Dieser kann aber auch als 0 angenommen werden. Dies ist bereits alles an „neuem“ Hanwerkszeug, was wir für das Fadenpendel benötigen.

Das Fadenpendel

Jeder von uns kennt es: Ein schwerer Gegenstand, zum Beispiel eine Uhr, ist an einem Faden (oder einer Kette) angehängt. Wird der Gegenstand leicht ausgelenkt, so beginnt das Pendel hin- und her zu schwingen. Oder kurz gesagt: Es pendelt.

Um zur Differentialgleichung des Fadenpendels zu gelangen, müssen wir eine kleine Vorüberlegung anstellen. Am einfachsten ist die Kräftebetrachtung, wenn das Problem in ebenen Polarkoordinaten formuliert wird. Das hört sich schlimmer an, als es ist: Als Paramter verwende ich nicht x und y (das wäre ein karthesisches Koordinatensystem), sondern den Winkel [latex size=“1″]phi (t)[/latex], um den das Pendel zu einer bestimmten Zeit t ausgelenkt ist. Dieser hängt mit dem Weg (in karthesischen Koordinaten) über folgende Beziehung zusammen:

[latex size=“1″] phi (t) = s(t)/l[/latex]

Plausibel wird diese Beziehung bei der Betrachtung des folgenden Bildes aus der Wikipedia:

Der zu einem bestimmten Zeitpunkt zurückgelegte Weg s(t) ist – übertragen auf das Bild – gerade b, die Länge unseres Pendels r und der Auslenkungswinkel [latex size=“1″]phi[/latex] ist gerade [latex size=“1″]alpha[/latex]. Hieraus folgt auch, dass die Beschleunigung a – die ja selbst die zweite Ableitung von s(t) nach der Zeit ist – proportional zur 2. Ableitung der Winkelfunktion nach der Zeit ist:

[latex size=“1″]ddot{s}(t)=l cdot ddot{alpha}[/latex].

Was hilft das nun? Mit Hilfe dieser Beziehung lässt sich die Grundgleichung der Mechanik

[latex size=“1″]F=m cdot a = m cdot ddot{s}[/latex]

umschreiben in

[latex size=“1″]F=m cdot l cdot ddot{phi}[/latex].

In Worten bedeutet dies, dass die Kraft F gerade proportional zur Beschleunigung a ist (mit dem Proportionalitätsfaktor „Masse“ m) – und auch proportional zur zweiten Ableitung des jeweiligen Auslenkungswinkels [latex]phi[/latex] nach der Zeit, da die Beschleunigung gerade die zweite Ableitung der Streckenfunktion nach der Zeit ist. Gewonnen haben wir bis hierher eigentlich noch nicht viel.

Einen etwas intensiveren Blick müssen wir nun auf die beim Fadenpendel auftretenden Kräfte riskieren. Plausibel werden die folgenden Formeln hoffentlich mit folgender formschönen Skizze:

Die Komponentenzerlegung der Gewichtskraft am Fadenpendel

Dies ist nur die Gewichtskraft mg senkrecht nach unten. Diese lässt sich nun in eine Komponente in Fadenrichtung aufteilen ([latex size=“1″]F_{r}[/latex]) und in eine dazu senkrechte ([latex size=“1″]F_{T}[/latex]). Erstere ist genauso groß wie die Kraft, die der Faden auf die Masse ausübt und sorgt dafür, dass der Faden gespannt bleibt. Letztere ist die Kraft, die die Masse zum Schwingen bringt. In der Zeichnung erkennt man folgenden Zusammenhang zwischen Auslenkungswinkel [latex size=“1″]phi[/latex], der Beschleunigung a, der Erdbeschleunigung g und der Masse m:

[latex size=“1″]sin phi = frac{F_{T}}{m cdot g}[/latex] -> [latex size=“1″]F_{T} =- m cdot g cdot sin phi[/latex]

Das Minuszeichen rührt daher, dass die Kraft der Auslenkung entgegen wirkt. Nun muss noch die oben abgeänderte Grundgleichung mit diesem Ausdruck verheiratet werden und wir sind schon am Ende angelangt. Dieses erreichen wir durch Gleichsetzen:

[latex size=“1″]m cdot l cdot ddot{phi} =- m cdot g cdot sin phi[/latex]

Durch Kürzen der Masse und eine kleine Umstellung der Gleichung erhalten wir dadurch die Differentialgleichung des Fadenpendels. In dieser taucht die Masse m nicht mehr auf (die Schwingungsperiode ist unabhängig von dieser) und es handelt sich um eine lineare homogene Differentialgleichung 2. Ordnung (wenn der Luftwiderstand und Reibungsverluste vernachlässigt werden). Sie lautet:

[latex size=“1″]ddot{phi}=- frac{g}{l} cdot sin(phi)[/latex]

Für kleine Winkel (so im Bereich bis 10°) ist der Sinus des Winkels in sehr guter Näherung gleich dem Winkel selbst. Somit vereinfacht sich die Gleichung nochmal zu:

[latex size=“1″]ddot{phi}=- frac{g}{l} cdot phi[/latex]

Diese Differentialgleichung gilt es nun zu lösen – nach der im letzten Artikel beschriebenen Methode mit Hilfe von OpenOffice!

Lösung der Differentialgleichung mit OpenOffice

Die Orginaldatei mit meiner Simulation findet sich hier: fadenpendel. Ich werde mich im Folgenden auf die entsprechende Tabelle beziehen.

Zunächst wurden wieder die benötigten Werte als Felder definiert. Dieses sind die Anfangsauslenkung (Feld B4), die Erdbeschleunigung g (B5) die Länge des Pendels (B6) und das Diskretisierungsintervall (B7). Außerdem wird noch die Anfangsgeschwindigkeit (also der Anfangswert der ersten Ableitung von [latex size=“1″]phi[/latex]) benötigt (B8).

Als Tabellenspalten benötigt werden die Zeit (Spalte A), die Änderung der ersten Ableitung (Spalte B – in der Tabelle ist diese mit Deltaomega benannt, da in der Physik die Winkelgeschwindigkeit [latex size=“1″]omega = dot{phi}[/latex] eine gebräuchliche Abkürzung für die 1. Ableitung der Winkelfunktion nach der Zeit ist), den Wert der ersten Ableitung (Spalte C) und den Wert des Auslenkungswinkels (Spalte D).

Zunächst erhalten alle ihre Anfangswerte (Zeile 10). Die Zeit wird dann um das feste Intervall dt inkrementiert. Die Änderung der ersten Ableitung ergibt sich, wenn die zweite Ableitung geschrieben wird als

[latex size=“1″]frac{Delta omega}{Delta t} = – frac{g}{l} cdot phi[/latex]

durch Umstellen der obigen Gleichung. Dieses ist im Feld B11 implementiert, wobei davon ausgegangen wird, dass der Auslenkungswinkel in D10 über diesen (kurzen) Zeitraum nahezu konstant geblieben ist. Die Änderung, die in B11 berechnet wurde, wird nun in C11  mit dem vorherigen Wert C10 der 1. Ableitung verrechnet. In guter Näherung ergibt sich der neue Auslenkungswinkel in D11 dann durch die Summe aus vorheriger Auslenkung in D10 und dem Produkt von 1. Ableitung und eingestelltem Zeitintervall.

Und das war es auch schon. Bei mir entsteht dadurch dieser wunderhübsche, sinusförmige Graph. Gut zu sehen ist auch die Phasenverschiebung zwischen Winkelgeschwindigkeit omega und Auslenkungswinkel phi (nämlich gerade 90°).



Simulation des Fadenpendels mit OpenOffice
Simulation des Fadenpendels mit OpenOffice

Wozu das ganze?

Das Fadenpendel ist in der Oberstufenphysik ein häufig diskutiertes Modellsystem. Jedoch wird die Lösung der Differentialgleichung mehr als trigonometrische Funktion „geraten“ denn wirklich gerechnet. Dieses intuitive Raten hat seine Berechtigung und hilft natürlich auch bei der Diskussion des Harmonischen Oszillators (dessen DGL im reibungsfreien Fall strukturell genauso aussieht wie diejenige des Fadenpendels).

Wird jedoch mit einem Oberstufenkurs auch die numerische Lösung in Excel (zusätzlich) durchgeführt, ergeben sich in meinen Augen viele Vorteile:

  • die Schüler erwerben Kenntnisse im Umgang mit Excel – oder eben auch OpenOffice. Diese sind auch außerhalb des physikalischen Kontextes wichtig.
  • die Schüler konstruieren sich – natürlich nach Anleitung – mit vergleichsweise wenig Mathematik die Lösung einer auf den ersten Blick komplizierten Gleichung selbst.
  • die Aufgabe eigent sich wunderbar, um in Partnerarbeit durchgeführt zu werden. Nach einer kurzen Einführung durch den Lehrer (der beispielsweise die Simulation einer DGL 1. Ordnung vorführt) können die Schüler selbstständig in einer sozialen Lernsituation eine Lösung erarbeiten.
  • der Umgang mit dem Computer hat eine große motivationale Komponente.

Im nächsten Artikel will ich mit der hier vorgestellten Methode auch den harmonischen Oszillator noch näher unter die Lupe nehmen. Kommentare und Verbesserungsvorschläge sind jederzeit willkommen!

Bisher in dieser Artikelserie:

Simulation von Differentialgleichungen mit Tabellenkalkulationen (1)

Differentialgleichungen bestimmen die Physik: Von den Newton’schen Bewegungsgleichungen bis hin zur Schrödingergleichung der Quantenmechanik. Leider ist die zur Lösung benötigte Mathematik nicht immer ganz einfach. Und schon gar nicht immer anschaulich. Vor allem in der Schule stellen DGL’s Schüler oft vor Verständnisschwierigkeiten.

Moderne Computer bieten hier viele Möglichkeiten, den Differentialgleichungen ihren Schrecken zu nehmen und Differentialgleichungen – gerade für Schüler – anschaulich zu machen. Nummerische (Näherungs-)lösungen sind ohne großen Aufwand mit Standardsoftware möglich, oftmals trägt das selbstständige „Programmieren“ sogar erheblich zum Verständnis der Physik hinter den DGL bei. Ich möchte hier nach und nach einige Aspekte etwas näher beleuchten und Zugänge  mit Excel OpenOfficeCalc, vorstellen. Heute geht es erstmal um ein wenig Theorie, die Entladung eines Kondensators und Reaktionen 1. Ordnung als Anwendung für die chemische Kinetik.

Näherungslösungen für Differentialgleichungen

Eine Differentialgleichung stellt eine Beziehung zwischen einer Funktion und ihren Ableitungen her (im einfachsten Fall: zwischen Funktion und ihrer ersten Ableitung). Die Lösungsmenge so einer Differentialgleichung sind dann all diejenigen Funktionen, die die in der DGL gestellten Bedingungen erfüllen. Ein einfaches Beispiel (das uns heute in abgewandelter Form beschäftigen wird) ist eine lineare, homogene DGL 1. Ordnung:

[latex size=“1″]frac{dx}{dt}=x leftrightarrow dot{x} = x[/latex]

Ich benutze hierbei die in der Physik übliche Schreibweise mit einem Punkt über der Variable, um eine Zeitableitung anzudeuten. Diese DGL ist analytisch einfach lösbar, auch viele Schüler können leicht nachvollziehen, dass gerade die e-Funktion ihre eigene Ableitung ist. Dennoch kann man hieran einige einfache Überlegungen anschließen. Zunächst noch einmal zu den Begrifflichkeiten: linear heißt eine DGL, wenn die Funktion und ihre Ableitungen nur mit dem Exponenten 1 in der Gleichung auftauchen. homogen, wenn es keinen Term gibt, in dem weder die Funktion noch eine ihrer Ableitungen auftauchen (entschuldigt, das ist mathematisch alles nur halbsauber, muss uns hier aber nicht näher interessieren).

Wie diskretisiert man nun diese DGL? Die Ableitung ist ja eigentlich nichts anderes als der folgende Grenzwert (der – so die Funktion differenzierbar ist – gegen einen bestimmten Wert konvergiert):

[latex size=“1″]limlimits_{Delta t rightarrow 0}{frac{Delta x}{Delta t}}[/latex]

Für kleine [latex]Delta t[/latex] ist aber bereits der Bruch eine sehr gute Näherung für die Ableitung – und genau das ist der Kerngedanke bei der numerischen Simulation. Kurz: Wähle [latex]Delta t[/latex] hinreichend klein, dann ist der Differenzenquotient

[latex size=“1″]frac{Delta x}{Delta t} = frac{dx}{dt}[/latex]

Das Gleichheitszeichen ist mathematisch natürlich nicht ganz sauber, der Differenzenquotient ist nur im Grenzwert gleich dem Differentialquotienten. Für unsere Zwecke ist es aber hilfreich, sich dieses Gleichheitszeichen zu denken.

DGL des Entladevorgangs eines Kondensators

Zur Herleitung der Differentialgleichung für den Entladevorgang eines Kondensators bietet die Wikipedia wesentlich mehr Informationen, als ich hier unterbringen kann und möchte. Entscheidend ist: Der Entladevorgang eines Kondensators wird durch folgende Differentialgleichung beschrieben:

[latex size=“1″]frac{dQ}{dt} =(-1) cdot frac{Q}{RC} cdot Q(t)[/latex]

C und R sind hierbei die bauartbedingte Kapazität und der ohm’sche Widerstand des Kondensators.

Simulation des Entladevorgangs mit OpenOfficeCalc

Eine von mir erstellte Beispieldatei gibt es hier. Auf diese wird im weiteren Text immer wieder Bezug genommen.

Notwendig zur Lösung der DGL ist zunächst die Diskretisierung: Der Differentialquotient [latex]frac{dQ}{dt}[/latex] wird durch den Differenzenquotienten [latex]frac{Delta Q}{Delta t}[/latex] angenähert (siehe oben). Weiterhin muss ein Startwert vorgegeben werden, der die Ladung zum Startzeitpunkt beschreibt. Zweckmäßiger Weise wird sowohl der Startwert als auch das Diskretisierungsintervall [latex]Delta t[/latex] über eine eigene Tabellenzeile definiert (in der Beispieldatei: Zellen B4 und B7).

Außerdem erscheint es mir zweckmäßig, den Widerstand und die Kapazität des Kondensators in einer eigenen Zelle zu definieren (B5 und B6). Damit ist auch schon fast alles getan und OpenOffice kann für uns rechnen.

Dazu wird zunächst eine Spalte mit fortlaufender Zeit definiert. Hierzu wird auf den Startwert „0“ in jeder Zeile das Diskretisierungsintervall [latex]Delta t[/latex] addiert (Spalte A ab A10). Das war noch einfach, oder?

Dann gilt es, die Ladungsänderung in dieser Zeit zu berechnen. Hierzu wird angenommen, dass die Ladungsmenge Q in der Zeit [latex]Delta t[/latex] als konstant angenommen werden kann. Dann gilt für [latex]Delta Q[/latex]:

[latex size=“1″]Delta Q =(-1) cdot frac{Q}{RC} cdot Delta t[/latex]

Dieser Wert wird das erste Mal zur Zeit [latex]Delta t[/latex] berechnet (B11) und gibt gerade die Änderung der Ladung an. Diese wird nun einfach zur vorher vorhandenen Ladung addiert (C11). Und das war es auch bereits: Die Zeile (A/B/C 11) kann einfach nach unten gezogen werden und das Ergebnis in ein Diagramm gezeichnet werden. Das sieht dann so aus:

Entladung eines Kondensators, simuliert mit OpenOffice
Entladung eines Kondensators, simuliert mit OpenOffice

Der Vorteil daran, die einzelnen Variablen als eigenes Feld in der Tabelle zu definieren: Es ist nun möglich, an den Werten herumzuspielen und zu schauen, welche Auswirkungen dies hat. Übrigens: Der Graph sieht doch verdächtig nach einer Exponentialfunktion aus, oder? Genau diese erhielte man auch durch die analytische Lösung der Differentialgleichung.

Simulation einer Reaktion 1. Ordnung

Nicht nur in der Physik tauchen solch einfache Differentialgleichungen 1. Ordnung auf, sondern z.B. auch in der chemischen Kinetik. Eine Reaktion 1. Ordnung gehorcht der folgenden DGL (c: Konzentration des Stoffes, k: Geschwindigkeitskonstante):

[latex size=“1″]frac{dc}{dt}=-k cdot c[/latex]

Sie sieht also auch ganz ähnlich aus wie oben. Die Lösung funktioniert daher ebenfalls analog und ich will sie gar nicht näher erläutern. Eine Beispieldatei befindet sich hier. Die Simulation gilt genauso übrigens auch für radioaktive Zerfälle, da diese im Grunde auch „nur“ Reaktionen 1. Ordnung darstellen…

Im nächsten Teil dieser kleinen Serie möchte ich versuchen, auch etwas kompliziertere Differentialgleichungen mit der hier vorgestellten Methode zu lösen. Zunächst werde ich mich an das mathematische Fadenpendel herantrauen, um dann auch noch den harmonischen Oszillator (mit Dämpfung!) zu besprechen. Kommentare und Ergänzungen sind natürlich immer willkommen!

Bisher in dieser Artikelserie:

Ziemlich Cool: Erdgas aus CO2 und Wasser

Eigentlich hatte ich ja vor, mir in einem Blogpost Gedanken über das Für und Wider der Kernenergie zu machen. Eigentlich, denn hängen geblieben bin ich bei einem sehr interessanten Projekt: Der Speicherung von CO2 in den vorhandenen Erdgasnetzen.

In einem Forschungsprojekt der Fraunhofer-Gesellschaft wird dies bereits erfolgreich erprobt und kann in meinen Augen als ein Baustein für die effiziente Nutzung regenerativer Energie dienen. Kurz zusammengefasst ist der Kerngedanke folgender (etwas ausführlicher im H2Blog):

CO2 wird aus der Luft gewonnen und mit überschüssigem Strom aus z.B. Windkraftanlagen wird Wasser zu Sauerstoff und Wasserstoff elektrolysiert. Der Wasserstoff wird dann katalytisch mit CO2 zu Methan, einem Hauptbestandteil des Erdgases, umgesetzt. Dieses kann dann in Gaskraftwerken oder privaten Heizungen verwertet werden. Der Clou: Für Erdgas gibt es bereits riesige Speicherkapazitäten. Ein Beispiel hierfür ist der relativ neue Erdgasspeicher in Kraak.

Strom hingegen lässt sich nicht wirklich gut speichern: Für eine ordentliche Ladungsportion werden schnell mal Akkus im Einfamilienhaus-Maßstab benötigt. Und die sind nach einigen Lade- und Entladezyklen früher oder später hinüber und leider dazu auch noch oft unter Selbstentladung. Die Speicherung in Form von Erdgas erscheint mir da wesentlich eleganter. Und noch etwas: Das ganze ist wirklich CO2-neutral. Es entsteht also nicht mehr CO2 als anfangs gebunden wurde.

Wie sieht das ganze auf chemischer Ebene aus? Dazu enthält der Link leider nur wenige Informationen. Ich reime mir das ganze in etwa als modifizierten Sabatier-Prozess zusammen. Im Grunde ist dies ein alter Hut, könnte aber mit neuartigen Katalysatoren wesentlich effizienter ablaufen. Beispielsweise wird aktuell an einem Ruthenium-Aluminium-Katalysator geforscht.

Es gibt aber auch andere Ideen sind zur Speicherung regenerativer Energien. Persönlich kommt mir noch ein Projekt zur Speicherung von Wärme – z.B. aus Solarzellen – durch reversible Salzhydratation in den Sinn. In diesem Projekt habe ich im Grunde meine Bachelorarbeit geschrieben, vielleicht raffe ich mich auch mal zu einigen Worten hierzu auf. Weitere Ideen sind natürlich auf Nanotechnologie beruhenden Akkus und viele Dinge mehr. Hierfür müsste natürlich „nur“ deutlich mehr Geld für die Forschung ausgegeben werden. Nur…