Einsatz von Wikis im Unterricht

By Hannes Sander | 17. Januar 2011 - 20:16 | Uncategorized

Im Rahmen der Begabtenförderung werde ich im Sommer auf der Nachhaltigkeitsakademie des Vereins Jugendbildung in Gesellschaft und Wissenschaft e.V. gemeinsam mit einer Kommilitonin einen Kurs zum Thema “Regenerative Energien” anbieten. Die Ergebnisse der Arbeit soll – so unsere Vorstellung – in einem Wiki dokumentiert werden. Meine Erfahrungen mit dem Wiki werde ich zu gegebener Zeit an dieser Stelle dokumentieren. Zunächst möchte ich in diesem Blogpost meine Vorüberlegungen vorstellen.

Schließlich weißt Christian Spannagel noch auf einige “Alltagsprobleme” hin. So seien viele (gerade jüngere) Schüler mit dem Einsatz eines Wikis überfordert und bräuchten für einfach Dinge (Anmelden beim Wiki) unglaublich viel Zeit. Auch sei der kooperative Gedanke nicht so verwurzelt, wie es wünschenswert wäre. Unter anderem dadurch sei dann auch die Motivation der Schüler geringer als erwartet.

Was ist überhaupt ein Wiki?

Ein Wiki [...] ist ein Hypertext-System für Webseiten, deren Inhalte von den Benutzern nicht nur gelesen, sondern auch online direkt im Browser geändert werden können.

Diese Definition aus der Wikipedia sagt wohl fast alles: In einem Wiki können die Betrachter einer Webseite ihren Inhalt direkt ändern und so selbst neue Inhalte generieren. Weitergehend kann man sogar sagen: Sie können auch die durch andere Benutzer erstellten Inhalte ändern und so die Qualität des Inhalts insgesamt sukzessive verbessern. In der Regel wird durch ein recht ausgeklügeltes Backup-System sichergestellt, dass auch alte Artikelversionen noch immer vorhanden sind (bei obigem Artikel zum Beispiel hier). So können alte Versionen durch entsprechend berechtigte Benutzer wieder hergestellt werden.

Logo der Software MediaWiki. Bildquelle: Wikipedia

Die bekannteste Wiki-Software ist das auch für die Wikipedia eingesetzte System MediaWiki. In meinen Augen ist diese Software zur Zeit die ausgereifteste Wiki-Software auf dem Markt. Sie enthält sehr viele Funktionen – die für kleine Projekte natürlich manchmal auch viel zu riesig überdimensioniert sind. Alternativen zu MediaWiki finden sich hier. Gerade für Bildungszwecke kann es auch interessant sein, ein Wiki nicht selbst aufzusetzen, sondern bei einem Service-Provider zu betreiben. Dieses geht beispielsweise bei wikispaces und hat den Vorteil, dass man als Lehrender sich nicht um die Technik hinter dem Wiki kümmern muss.

Unser Einsatzszenario

Wir werden mit circa 20 Beteiligten am Wiki arbeiten. Da sich alle (zukünftigen) Benutzer noch nicht untereinander kennen, wurde das gesamte Wiki zunächst mit einem Kennwort versehen. Das habe ich mit .htacces realisiert: einfach, vergleichsweise sicher und ganz wichtig: wenn alle Teilnehmer einverstanden sind, ist der Verzeichnisschutz auch leicht wieder zu entfernen. So kann das Wiki der breiteren Öffentlichkeit zugänglich gemacht werden, ohne direkte Änderungen am Code oder an der Datenbank vornehmen zu müssen.

Da das eigentliche Seminar durch (Kurz)referate inhaltlich vorbereitet werden soll, kommen Themenstellungen und Materialien für die entsprechenden Referate direkt ins Wiki. Das hat auch für uns als Dozenten Vorteile: So können wir beide parallel arbeiten und uns gegenseitig ergänzen bzw. korrigieren. Ein nicht zu unterschätzender Zeitgewinn im Vergleich zu persönlichen Treffen.

Natürlich soll während des Seminars auch in Gruppen gearbeitet werden. Die Ergebnisse dieser Arbeiten können – genau wie die ausgearbeiteten Referate – über das Wiki direkt allen Teilnehmern zugänglich gemacht werden. Die Notwendigkeit, ausufernde PowerPoint-Präsentationen zu erstellen, entfällt somit in weiten Teilen: Oft ist es einfach, einer Wiki-Artikel gut zu strukturieren und dann mit allen gemeinsam die Kernpunkte anhand des Artikels zu besprechen.

Was spricht gegen den Einsatz eines Wikis?

Schaut man sich ein wenig in der Blogosphäre um, so haben viele Blogger sehr zwiespältige Erfahrungen gemacht, die ich an dieser Stelle kurz zusammenfassen möchte. So stellt Maik Riecken fest:

Der Mehrwert [eines Wikis] entsteht für mich erst durch Rückmeldungen, die so motivierend sind, dass sie den Verbesserungs- und Überarbeitungsprozess anzutreiben vermögen. Deswegen versauern m.E. nach einer ersten euphorischen Anfangsphase so viele Schülerblogs.

Ich denke da hat er recht. Das Problem bei allen im Unterricht entstandenen Produkten ist doch: Sie sind (zumindest oftmals) nicht aus eigener Motivation der Schüler heraus entstanden, sondern aus einem durch die Schule geschaffenen Notendruck heraus (ich möchte den Begriff “extrinsische Motivation” hier nicht zu sehr strapazieren). Diesen Druck in eigene, “intrinsische” Lern- und Arbeitsmotivation umzuwandeln, gelingt nicht immer und nicht bei jedem Schüler. Und haben Schüler (genau wie andere Menschen ja auch) keine intrinsische Motivation, so “versauern” viele Projekte nach Abschluss der Unterrichtseinheit und werden nie wieder gepflegt.

Beim Einsatz eines Wikis ist also zu beachten, dass alle Teilnehmer/Schüler “mit im Boot” sitzen und den Nutzen gegenseitiger Kritik und Hilfe erkennen. Dies gelingt wohl nicht in allen Klassen.

Ein weiteres Problem reißt Werner Prüher an:

Daher müsste ich bei jedem Lehrgang thematisch ein neues Wiki beginnen. Aber was mache ich mit dem alten Wiki? Als Lernunterlage für die nachfolgenden Schüler? Das ist zu vergessen, das ist wie e-learning aus dem Jahr 2000, völlig unakzeptabel. E-Learning heute heißt: Inhalte erstellen. Der Weg ist das Ziel, niemals das Endprodukt. Das Endprodukt ist als Nachschlagewerk nützlich, aber nicht als Lern- oder Unterrichtsbehelf.

Ich stimme insoweit zu, als die “Verwertung” des Endproduktes ein Problem darstellt – gerade in Schulen mit festgezurrtem Curriculum, wo sich Themen jährlich wiederholen. Niemand benötigt 10 verschiedene Wikis zum gleichen Thema. Und sich – mit einer neuen Klasse – in ein Thema soweit einzuarbeiten, dass gewinnbringend an einem alten Wiki weitergearbeitet werden kann, ist wohl schwer zu realisieren. Eine Lösung könnte hier nur sein, Wikis für innovative, mehr oder minder einmalige Themen einzusetzen. So stünde – zumindest beim ersten Wiki-Kontakt – dann doch das Produkt im Vordergrund. Haben Schüler dann den Wert von Wikis und ähnlichen Systemen für die Zusammenarbeit erkannt, mag im Idealfall dann tatsächlich “der Weg das Ziel” sein – und das Problem sich in Luft auflösen.

Schließlich wird der zu Anfang der Wiki-Arbeit sehr hohe Zeitbedarf kritisiert. Dieser hängt aber in meinen Augen sehr stark von der jeweiligen Lerngruppe (Vorerfahrungen, Alter, …) ab.

Was spricht für den Einsatz eines Wikis?

Alle oben genannten Kritikpunkte stellen in meinen Augen zwar gewichtige Argumente für den Verzicht auf ein Wiki in bestimmten Lerngruppen dar, nicht jedoch gegen den Einsatz eines Wikis an sich. Als Vorteile sehe ich:

Kollaboration: Durch den Einsatz eines Wikis besteht die Möglichkeit, echte Kollaboration bei den Teilnehmern zu erreichen. So können im Idealfall alle Teilnehmer am gleichen Text arbeiten, sich gegenseitig konstruktiv kritisieren (und solche Formen der Kritik einüben) und ein äußerst hochwertiges Produkt entwickeln.
Entkopplung der Lernzeit aus dem starren Schulrhythmus. An einem Wiki kann immer gearbeitet werden, egal zu welcher Uhrzeit. So wird den Teilnehmern zum einen eine wesentlich größere Freiheit gegeben – zum anderen aber auch eine erhebliche Eigenverantwortung für das eigene Lernen. Steffen Obeling merkt hierzu an, dass in Unterrichtssituationen das Wiki aber natürlich sinnvoll in den Kontext des Unterrichts integriert sein muss und es klare Regeln bezüglich Formaler und Kommunikativer Aspekte geben muss. Volle Zustimmung zu dieser Anmerkung.
Förderung von Medienkompetenz. Durch das Erlernern des Wiki-Codes und dem Umgang mit einem Wiki erwerben die Teilnehmer wichtige Fähigkeiten beim Umgang mit einem Wiki und anderen Internetsystemen. Dies könnte beispielsweise auch darin münden, dass Teilnehmer sich für die Arbeit in der Wikipedia begeistern.
Steffen Obelingt weißt noch auf einen weiteren Punkt hin: Durch ein (Media)Wiki werden Produktionsprozesse von Wissen und Inhalt sichtbar dokumentiert. So hat auch der Lehrer die Möglichkeit, die Aktivität der einzelnen Schüler über die Logs nachzuvollziehen. Kritisch möchte ich hierzu aber anmerken: Wird die Qualität/Quantität der Einzelbeiträge in irgendeiner Form bewertet, so steigt in meinen Augen die Hemmschwelle, etwas zum Wiki beizutragen. Wenn eine Benotung vorgenommen werden muss, dann eine des Endproduktes. Trotzdem: Die Logs eines Wikis bieten unglaubliche Möglichkeiten, den Produktionsprozess explizit im Unterricht zu reflektieren.

Dinge, die berücksichtigt werden müssen

Absolut sinnvoll finde ich die “10 Best Practices” von Barbara Schröder. Bei der Konzeption des Wikis für unser Seminar waren und sind sie mir eine große Hilfe. Unter anderem plädiert sie dafür, Regeln und Erwartungen an die Lerngruppe klar zu formulieren.

Wie oben bereits erwähnt: Sowohl aus Gründen des Copyrights als auch aus Datenschutzgründen sollte ein Wiki meiner Meinung nach nur allgemein zugänglich gemacht werden, wenn alle Beteiligten sich damit einverstanden erklären – und sich an Copyrights halten. Ich halte es daher für sinnvoll, zuerst mit höheren Sicherheitsstufen zu arbeiten.

Und schließlich das Wichtigste überhaupt: Damit kein Teilnehmer an einem Wiki-Projekt überfordert wird, muss die Technik eines Wikis, die dahinterstehenden Grundgedanken, die Handhabung, die Anmeldung, … gemeinsam mit ausreichend Zeit geübt werden. Denn nur, wenn man weiß, wie es funktioniert, kann ein Wiki ein Projekt voranbringen. Wie gesagt: Über meine Erfahrungen werde ich zu gegebener Zeit berichten.

Was genau ist eigentlich ein Modell?

By Hannes Sander | 11. Januar 2011 - 01:02 | Uncategorized

3 Comments

Durch eine Diskussion beim ScienceBlog von Martin bin ich ein wenig tiefer ins Nachdenken über Modelle in den Naturwissenschaften und im Allgemeinen gekommen. Zum einen stellte sich mir die Frage, wie ein “Modell” überhaupt definiert werden kann und wie es von verwandten Begriffen wie Kategorie oder Theorie abgegrenzt werden kann. Zum anderen stellte sich mir die Frage, warum der Modellbegriff überhaupt Probleme bereitet.

Was ist ein Modell?

Hier zu sagt Wikipedia (in Anlehnung an Stachowiak):

Ein Modell ist ein Abbild der Wirklichkeit. [Es ist] durch drei Merkmale gekennzeichnet:

Abbildung. Ein Modell ist immer ein Abbild von etwas, eine Repräsentation natürlicher oder künstlicher Originale, die selbst wieder Modelle sein können.

Verkürzung. Ein Modell erfasst nicht alle Attribute des Originals, sondern nur diejenigen, die dem Modellschaffer bzw. Modellnutzer relevant erscheinen.

Pragmatismus. Pragmatismus bedeutet soviel wie Orientierung am Nützlichen. Ein Modell ist einem Original nicht von sich aus zugeordnet. Die Zuordnung wird durch die Fragen Für wen?, Warum? und Wozu? relativiert. Ein Modell wird vom Modellschaffer bzw. Modellnutzer innerhalb einer bestimmten Zeitspanne und zu einem bestimmten Zweck für ein Original eingesetzt. Das Modell wird somit interpretiert.

Modelle sind also immer Abbilder der Realität. Handelt es sich um mathematische Modelle, so besteht – wenigstens in der Regel – ein funktionaler Zusammenhang zwischen Modell und Realität. Auf jeden Fall handelt es sich bei Modell und realem Objekt, auf das das Modell bezogen ist, um zwei verschiedene Gegenstände im weiteren Sinne. Anders formuliert: Ein Modell nimmt Aspekte der Realität auf und macht selbst eine Aussage über die Realität. So macht ein Miniatur-Automobil eine Aussage über allgemeine Eigenschaften eines Autos (Form, Reifen, …) und ein physikalisches Modell wie der Lichtstrahl eine Aussage über Eigenschaften und (zukünftige) Entwicklung eines Systems.

Beziehung zwischen Modell und Realität

Weiterhin verkürzen Modelle die Realität: Ein Modell wird niemals alle Eigenschaften des modellierten Objektes beinhalten. Betrachtet man beispielsweise das Modell des Lichtstrahls (als ein gedankliches, nicht-gegenständliches Modell) so stellt dieser die Ausbreitung von Licht in vielen Situationen gut dar. Allerdings enthält das Lichtstrahlmodell nicht die Wellen- und schon gar nicht die Teilcheneigenschaften von Licht. Um diese zu beschreiben, sind neue Modelle notwendig.

Verkürzungsaspekt eines Modells

Gerade auch bei nicht-physikalischen Modellen kann durch das “Weglassen” oder das verkürzte Darstellen bestimmter Eigenschaften eine Hierarchisierung der Eigenschaften vorgenommen werden. Betrachtet man beispielsweise Kompetenzmodelle (zum Beispiel in den Bildungsplänen für das Fach Physik in Hamburg), so werden bestimmte Kompetenzen durch die explizite Nennung (z.B. Fachwissen) besonders betont. Andere Kompetenzen, die ebenfalls als wichtig erachtet werden könnten (z.B. “Lernkompetenz” im Sinne einer Selbstorganisationsfähigkeit des eigenen Lernprozesses) werden nicht genannt. Somit ist im Kompetenzmodell eine klare Hierarchisierung dieser beiden Kompetenzen allein durch die Nennung oder Nicht-Nennung vorgenommen worden.

Schließlich ist ein Modell zweckgerichtet. Dieser Zweck kann beispielsweise – gerade bei gegenständlichen Modellen – die Veranschaulichung komplexer Sachverhalte sein. Oder die Berechnung bestimmter Systemeigenschaften auf Basis dieses Modells, zum Beispiel beim Modell des idealen Gases. Modelle, die keinen Zweck erfüllen – oder anders gesagt: nichts erklären – sind sinnlos und nach obiger Definition keine Modelle.

Schließlich kann ein Modell ganz Allgemein als ein “Vorbild” aufgefasst werden. Auch hierbei nimmt das Modell einige Eigenschaften eines als gut und richtig erachteten Objekts (zum Beispiel eines Menschen) auf und stellt diese als ein anzustrebendes Ideal dar. Nicht als erstrebenswert erachtete Eigenschaften werden weggelassen, also in obigem Sinne “verkürzt”.

Abgrenzung gegenüber verwandten Begriffen

Eine Theorie verstehe ich als Spezialfall eines Modells. So ist auch eine Theorie ein verkürztes Abbild der Wirklichkeit – und nicht die Wirklichkeit selbst. Jedoch enthalten Theorien neben deskriptiven Aussagen auch erklärende Aussagen und beinhalten gewisse Grundannahmen. Somit sind an eine Theorie höhere (formale) Anforderungen zu stellen als an ein Modell, jedoch kann in meinen Augen eine Theorie als eine Unterklasse der Modelle verstanden werden.

Eng verwandt mit dem Modellbegriff ist auch der Begriff des Konzeptes. Wikipedia definiert das Konzept so:

Ein Konzept kann eine oder mehrere Eigenschaften einer Menge von Objekten, Eigenschaften, Beziehungen, Sachverhalten oder Fähigkeiten beschreiben. Somit kann ein Konzept sowohl eine gedankliche Zusammenfassung (Vorstellung) von Gegenständen und Sachverhalten beschreiben, die sich durch gemeinsame Merkmale auszeichnen als auch eine Zusammenfassung gleicher oder vergleichbarer Beziehungen von Gegenständen oder Sachverhalten untereinander.

Auch ein Konzept kann man – in meinen Augen – also als Spezialfall eines Modells verstehen: Es werden bestimmte Eigenschaften eines Gegenstandes (also eines realen Objektes oder eines anderen Modells) generalisiert. So entsteht beispielsweise die Kategorie “Verkehrsmittel” als Verallgemeinerung des Objektes “Fahrrad”. Dabei enthält das “Verkehrsmittel” niemals alle Eigenschaften des Fahrrads, wohl aber besteht zwischen Fahrrad und Verkehrsmittel eine nicht zu leugnende Abbild-Bild-Beziehung. In diesem Sinne kann das Modell des Verkehrsmittels viele Eigenschaften des Objektes Fahrrad erklären – natürlich aber nicht alle.

Chancen von Modellen

Modelle können…

komplizierte Dinge veranschaulichen. So habe ich persönlich das Konzept von “Azimut und Höhe” in der Astronomie erst mit Hilfe eines gegenständlichen Modells verstanden, als ich ein verkleinertes Modell der Erdkugel mit aufgesetztem Messgerät selbst gesehen habe.
auf Basis der Modellannahmen Aussagen über die (vermutliche) Entwicklung der Realität treffen und haben somit eine Vorraussagekraft für zukünftige Ereignisse. Dieses macht sie für die moderne (Natur-)Wissenschaft geradezu unverzichtbar.
komplizierte Dinge vereinfachen. In der Physik ist beispielsweise das Modell des Massenpunktes in vielen Situationen sehr einfach einsetzbar und bietet ein großes Erklärungspotential. Es versagt allerdings bei komplizierteren Bewegungen wie Rotationen.

Gefahren von Modellen

Modelle können aber auch…

dazu verführen, z.B. makroskopische Eigenschaften wie Farbe, Geschmack, … auf mikroskopische Teilchen wie Atome oder Moleküle zu übertragen. Dies führt zu falschen Schlüssen über die mikroskopische Welt. Allgemein gesprochen besteht also die Gefahr, Realität und Modell miteinander zu vermengen und so falsche Schlüsse über die Realität selbst zu ziehen.
unsachgemäß vereinfachen und so zu falschen Schlussfolgerungen führen.
dazu führen, dass Modell und Realität miteinander verwechselt werden. Atome sind beispielsweise keinesfalls “kleine runde Bälle”, Lichtstrahlen wird nie jemand sichtbar machen können. Genausowenig werden wir jemals magnetische Felder “sehen” können. Alle diese Dinge sind Modelle und beschreiben einen Ausschnitt der Realität. Nicht mehr, aber auch nicht weniger.

Wie geht man damit nun im Unterricht um?

Mikelskis-Seifert und Leisner [1] schlagen einen expliziten Unterricht über Modelle in Form eines Projektes vor (Literaturhinweis unten). So sollte im Unterricht bewußt zwischen einer Erfahrungs- und einer Modellwelt unterschieden werden. Modelle sollen – im Sinne der oben zitierten Definition – gezielt zum Problemlösen ausgewählt und benutzt werden und von Phänomenen abgegrenzt werden. Der jeweilige Einsatz (und Verkürzungsaspekt) von Modellen muss explizit thematisiert werden. Wer es genauer wissen möchte sei an dieser Stelle auf die Literatur verwiesen.

Weitergedacht sollte diese Reflexion den Gebrauch des Modellbegriffs in den Medien einbeziehen. So könnten Beispielsweise Witze als eine Art “Aufhänger” für eine Diskussion des Modellbegriffs dienen. Eine ähnliche Funktion können natürlich auch gegenständliche Modelle wie das Hubble-Weltraumteleskop erfüllen: Durch Vergleich von Modelleigenschaften und Objekteigenschaften können Gemeinsamkeiten (Form) und Unterschiede (Funktion) herausgearbeitet werden, womit der Verkürzungsaspekt eines Modells thematisiert werden kann. Sicherlich gibt es tausende weitere Texte, Gegenstände und Animationen, die zu weiterer (expliziter!) Reflexion anregen können. Weitere Ideen gerne in den Kommentaren .

Die wichtigste Erkenntnis von allen ist aber vielleicht die folgende: Das eine richtige Modell gibt es nicht. Kein Modell beschreibt die Realität vollständig – und selbst wenn es dieses täte, wären wir nicht in der Lage, dieses auch zu erkennen. Und trotzdem können Modelle so unglaublich nützlich bei der Beschreibung der Welt sein. Mehr als dies sind sie indes nicht: Eine Beschreibung, nicht die Realität selbst.

[1] Mikelskis-Seifert, Leisner – Systematisches und bewußtes Lernen über Modelle in Hößle, Höttecke, Kircher: Lehren und Lernen über die Natur der Naturwissenschaften (2004)

Pimp my Blog: Erweiterung des TinyMCE-Editors und ein schönes Firefox-Plugin

By Hannes Sander | 7. Januar 2011 - 23:35 | Uncategorized

1 Comment

Welcher Blogger hat sich nicht schonmal über den in WordPress eingebauten Editor geärgert? Er kann zwar vieles – aber lange nicht alles. Heute habe ich beim Stöbern im Internet zwei praktische Helferlein entdeckt, die den eingebauten TinyMCE-Editor ein wenig aufwerten.

TinyMCE Advanced…

…ist ein Plugin für WordPress und lässt sich als solches sehr leicht installieren. Am einfachsten funktioniert das aus dem Adminbereich per automatischem Download. Ist das Plugin erst installiert, erscheinen im WordPress-Editor mehrere neue Formatierungsoptionen, die einem das Leben erleichtern. Besonders praktisch finde ich sie im Vollbildmodus. Gestoßen bin ich auf dieses tolle Plugin durch den Blog von Michael Karl.

UPDATE: Wenn TinyMCE aktiviert ist, fehlt in meinem Backend plötzlich der Quote-Button. Dies ist aber nicht weiter schlimm: Soll ein Absatz als Zitat formatiert werden, einfach den gewünschten Absatz markieren und die Tastenkombination ALT + SHIFT + Q drücken. Zum Rückgängigmachen einfach die gleiche Kombination nochmal.

Deepest Sender…

…ist ein Plugin für Firefox. Das Programm verbindet sich mit dem Blog und man kann direkt aus der Sidebar Blogeinträge verfassen. Diese können auch direkt als “Draft” markiert werden und so später noch in WordPress bearbeitet werden. Das würde ich auch immer so machen, da der Editor nicht so wahnsinnige Formatierungsoptionen unterstützt. Stolpert man aber zufällig über einen Gedanken, über den man etwas schreiben möchte, so ist das Plugin mehr als praktisch. Zu finden ist Deepest Sender hier. Gefunden habe ich den Link bei speckyboy. Dort finden sich übrigens noch viele viele weitere Firefox-Erweiterungen, die für den einen oder die andere durchaus sinnvoll sein können.

Blogblumenparade 2011

By Hannes Sander | 5. Januar 2011 - 22:15 | Uncategorized

Simulation von Differentialgleichungen mit Tabellenkalkulationen (2)

By Hannes Sander | 3. Januar 2011 - 02:10 | Uncategorized

1 Comment

In diesem Beitrag soll es nun um das sogenannte Fadenpendel (oder auch mathematische Pendel) gehen – und wie man es mit Hilfe von OpenOffice “lösen” kann! Dazu zunächst ein wenig Theorie zum Fadenpendel, bevor dann eine verblüffend einfache Lösung mittels Tabellenkalkulation folgt. Notwendig zum Verständnis ist auf jeden Fall mein vorheriger Artikel, in dem ich das grundlegende Prinzip der Näherungslösungen beschreibe. Hier möchte ich nur ganz kurz hinzufügen, wie mit einer zweiten Ableitung umgegangen wird.

Die Zweite Ableitung

Die 2. Ableitung einer Funktion ist – wer hätte das gedacht – die Ableitung der 1. Ableitung einer Funktion. Richtig schreiben müsste man für die zweite Zeitableitung also:

$\ddot{f} = \frac{d \dot{f}}{dt}$

Wendet man nun den Gedanken aus dem vorherigen Artikel auch hierauf an, so kann ich – für hinreichend kleine $\Delta t$ die Ableitung näherungsweise berechnen über

$\ddot{f} = \frac{\Delta \dot{f}}{\Delta t}$

Die Änderung der 1. Ableitung $\Delta \dot{f}$ lässt sich also direkt durch Umstellen der Gleichung berechnen. Neu bei der Behandlung von Differentialgleichungen ist hier nur, dass auch für die 1. Ableitung ein Anfangswert vorgegeben werden muss. Dieser kann aber auch als 0 angenommen werden. Dies ist bereits alles an “neuem” Hanwerkszeug, was wir für das Fadenpendel benötigen.

Das Fadenpendel

Jeder von uns kennt es: Ein schwerer Gegenstand, zum Beispiel eine Uhr, ist an einem Faden (oder einer Kette) angehängt. Wird der Gegenstand leicht ausgelenkt, so beginnt das Pendel hin- und her zu schwingen. Oder kurz gesagt: Es pendelt.

Um zur Differentialgleichung des Fadenpendels zu gelangen, müssen wir eine kleine Vorüberlegung anstellen. Am einfachsten ist die Kräftebetrachtung, wenn das Problem in ebenen Polarkoordinaten formuliert wird. Das hört sich schlimmer an, als es ist: Als Paramter verwende ich nicht x und y (das wäre ein karthesisches Koordinatensystem), sondern den Winkel $\phi (t)$ , um den das Pendel zu einer bestimmten Zeit t ausgelenkt ist. Dieser hängt mit dem Weg (in karthesischen Koordinaten) über folgende Beziehung zusammen:

$\phi (t) = s(t)/l$

Plausibel wird diese Beziehung bei der Betrachtung des folgenden Bildes aus der Wikipedia:

Der zu einem bestimmten Zeitpunkt zurückgelegte Weg s(t) ist – übertragen auf das Bild – gerade b, die Länge unseres Pendels r und der Auslenkungswinkel $\phi$ ist gerade $\alpha$ . Hieraus folgt auch, dass die Beschleunigung a – die ja selbst die zweite Ableitung von s(t) nach der Zeit ist – proportional zur 2. Ableitung der Winkelfunktion nach der Zeit ist:

$\ddot{s}(t)=l \cdot \ddot{\alpha}$ .

Was hilft das nun? Mit Hilfe dieser Beziehung lässt sich die Grundgleichung der Mechanik

$F=m \cdot a = m \cdot \ddot{s}$

umschreiben in

$F=m \cdot l \cdot \ddot{\phi}$ .

In Worten bedeutet dies, dass die Kraft F gerade proportional zur Beschleunigung a ist (mit dem Proportionalitätsfaktor “Masse” m) – und auch proportional zur zweiten Ableitung des jeweiligen Auslenkungswinkels $\phi$ nach der Zeit, da die Beschleunigung gerade die zweite Ableitung der Streckenfunktion nach der Zeit ist. Gewonnen haben wir bis hierher eigentlich noch nicht viel.

Einen etwas intensiveren Blick müssen wir nun auf die beim Fadenpendel auftretenden Kräfte riskieren. Plausibel werden die folgenden Formeln hoffentlich mit folgender formschönen Skizze:

Die Komponentenzerlegung der Gewichtskraft am Fadenpendel

Dies ist nur die Gewichtskraft mg senkrecht nach unten. Diese lässt sich nun in eine Komponente in Fadenrichtung aufteilen ( $F_{r}$ ) und in eine dazu senkrechte ( $F_{T}$ ). Erstere ist genauso groß wie die Kraft, die der Faden auf die Masse ausübt und sorgt dafür, dass der Faden gespannt bleibt. Letztere ist die Kraft, die die Masse zum Schwingen bringt. In der Zeichnung erkennt man folgenden Zusammenhang zwischen Auslenkungswinkel $\phi$ , der Beschleunigung a, der Erdbeschleunigung g und der Masse m:

$\sin \phi = \frac{F_{T}}{m \cdot g}$ -> $F_{T} =- m \cdot g \cdot \sin \phi$

Das Minuszeichen rührt daher, dass die Kraft der Auslenkung entgegen wirkt. Nun muss noch die oben abgeänderte Grundgleichung mit diesem Ausdruck verheiratet werden und wir sind schon am Ende angelangt. Dieses erreichen wir durch Gleichsetzen:

$m \cdot l \cdot \ddot{\phi} =- m \cdot g \cdot \sin \phi$

Durch Kürzen der Masse und eine kleine Umstellung der Gleichung erhalten wir dadurch die Differentialgleichung des Fadenpendels. In dieser taucht die Masse m nicht mehr auf (die Schwingungsperiode ist unabhängig von dieser) und es handelt sich um eine lineare homogene Differentialgleichung 2. Ordnung (wenn der Luftwiderstand und Reibungsverluste vernachlässigt werden). Sie lautet:

$\ddot{\phi}=- \frac{g}{l} \cdot sin(\phi)$

Für kleine Winkel (so im Bereich bis 10°) ist der Sinus des Winkels in sehr guter Näherung gleich dem Winkel selbst. Somit vereinfacht sich die Gleichung nochmal zu:

$\ddot{\phi}=- \frac{g}{l} \cdot \phi$

Diese Differentialgleichung gilt es nun zu lösen – nach der im letzten Artikel beschriebenen Methode mit Hilfe von OpenOffice!

Lösung der Differentialgleichung mit OpenOffice

Die Orginaldatei mit meiner Simulation findet sich hier: fadenpendel. Ich werde mich im Folgenden auf die entsprechende Tabelle beziehen.

Zunächst wurden wieder die benötigten Werte als Felder definiert. Dieses sind die Anfangsauslenkung (Feld B4), die Erdbeschleunigung g (B5) die Länge des Pendels (B6) und das Diskretisierungsintervall (B7). Außerdem wird noch die Anfangsgeschwindigkeit (also der Anfangswert der ersten Ableitung von $\phi$ ) benötigt (B8).

Als Tabellenspalten benötigt werden die Zeit (Spalte A), die Änderung der ersten Ableitung (Spalte B – in der Tabelle ist diese mit Deltaomega benannt, da in der Physik die Winkelgeschwindigkeit $\omega = \dot{\phi}$ eine gebräuchliche Abkürzung für die 1. Ableitung der Winkelfunktion nach der Zeit ist), den Wert der ersten Ableitung (Spalte C) und den Wert des Auslenkungswinkels (Spalte D).

Zunächst erhalten alle ihre Anfangswerte (Zeile 10). Die Zeit wird dann um das feste Intervall dt inkrementiert. Die Änderung der ersten Ableitung ergibt sich, wenn die zweite Ableitung geschrieben wird als

$\frac{\Delta \omega}{\Delta t} = - \frac{g}{l} \cdot \phi$

durch Umstellen der obigen Gleichung. Dieses ist im Feld B11 implementiert, wobei davon ausgegangen wird, dass der Auslenkungswinkel in D10 über diesen (kurzen) Zeitraum nahezu konstant geblieben ist. Die Änderung, die in B11 berechnet wurde, wird nun in C11 mit dem vorherigen Wert C10 der 1. Ableitung verrechnet. In guter Näherung ergibt sich der neue Auslenkungswinkel in D11 dann durch die Summe aus vorheriger Auslenkung in D10 und dem Produkt von 1. Ableitung und eingestelltem Zeitintervall.

Und das war es auch schon. Bei mir entsteht dadurch dieser wunderhübsche, sinusförmige Graph. Gut zu sehen ist auch die Phasenverschiebung zwischen Winkelgeschwindigkeit omega und Auslenkungswinkel phi (nämlich gerade 90°).

Simulation des Fadenpendels mit OpenOffice

Wozu das ganze?

Das Fadenpendel ist in der Oberstufenphysik ein häufig diskutiertes Modellsystem. Jedoch wird die Lösung der Differentialgleichung mehr als trigonometrische Funktion “geraten” denn wirklich gerechnet. Dieses intuitive Raten hat seine Berechtigung und hilft natürlich auch bei der Diskussion des Harmonischen Oszillators (dessen DGL im reibungsfreien Fall strukturell genauso aussieht wie diejenige des Fadenpendels).

Wird jedoch mit einem Oberstufenkurs auch die numerische Lösung in Excel (zusätzlich) durchgeführt, ergeben sich in meinen Augen viele Vorteile:

die Schüler erwerben Kenntnisse im Umgang mit Excel – oder eben auch OpenOffice. Diese sind auch außerhalb des physikalischen Kontextes wichtig.
die Schüler konstruieren sich – natürlich nach Anleitung – mit vergleichsweise wenig Mathematik die Lösung einer auf den ersten Blick komplizierten Gleichung selbst.
die Aufgabe eigent sich wunderbar, um in Partnerarbeit durchgeführt zu werden. Nach einer kurzen Einführung durch den Lehrer (der beispielsweise die Simulation einer DGL 1. Ordnung vorführt) können die Schüler selbstständig in einer sozialen Lernsituation eine Lösung erarbeiten.
der Umgang mit dem Computer hat eine große motivationale Komponente.

Im nächsten Artikel will ich mit der hier vorgestellten Methode auch den harmonischen Oszillator noch näher unter die Lupe nehmen. Kommentare und Verbesserungsvorschläge sind jederzeit willkommen!

Bisher in dieser Artikelserie:

Schlagwörter